Vektör

[aLiCaN]

Soyut olarak yöneyler, bir F cisminin üzerine tanımlı bir yöney uzayının öğeleridir. Yöneyler bu cisim üzerine tanımlanmış bir denklik bağıntısı yardımıyla tanımlanabilir. (n tane) olsun. a öğesi ile b öğesi, ancak bileşenlerin toplamı olarak a+d=b+c ise bağıntılıdır. Daha biçimsel olmak gerekirse
şeklinde tanımlanır ki burada 'ler a noktasının koordinatlarıdır ve + işlemi F cismine aittir.
Bu bağıntının bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. O halde yöney, denklik sınıflarıdır. Böylece denklik sınıfı temsilcisini koyu harfle gösterirsek, bir yöney
olarak tanımlanmış olur. Daha açık bir biçimde bir yöney,
şeklinde düşünülebilir.

Gösterim

Bir yöney çok çeşitli şekillerde gösterimlenebilir. En yaygın gösterimler, üzerinde bir ok işareti () ya da koyu harf () gösterimidir. Oklu gösterimin avantajı el yazılarında kolaylıkla kullanılabilir olmasıdır. Ancak baskı ve sayısal metinlerde koyu harf kullanmak adettir.
Yöneyin bileşenleriyle gösteriminde ise genellikle sıralı n-li kullanılır.
Yer yer (konunun veriliş tarzına bağlı olarak) satır ya da sütun dizey gösterimi de yeğlenir.
ya da Yine yaygın gösterimlerden biri birim yöney gösterimidir.
ki burada
alınabilir.
Bir yöney
şeklinde düşünüldüğünde Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak
şeklinde gösterilebilir. Bu gösterim, toplam simgesinden kurtulmada ve bileşenleri temsil edecek şekilde bir kolaylık sağlamaktadır. Genellikle tensör gösterimi olarak anılır.

Köken

İngilizce'de bu yapı için kullanılan sözcük vector dür. Kökeni, "taşımak"/"bir yöne aktarmak"/"göndermek" anlamına gelen "vehere" Latince fiil gövdesidir[1]. Sözcüğün anlamı "taşıyıcı"/"yöncü" olarak düşünülebilir. Bu yüzden olabilir ki Türkçe'de (büyük ihtimalle Fransızca'dan devşirilmiş olan) vektör karşılığından sonra yöney karşılığı kullanılmaktadır[2].

Yöney İşlemleri


Eşitlik

Ancak yöneylerden birinin her bileşeni karşılıklı olarak diğerininkine eşitse bu iki yöney eşittir.
Daha cebirsel olarak, iki yöney aynı denklik sınıfına aitse eşittir.

Yöney toplamı


İki yöneyin toplamı üçüncü bir yöneye eşittir.

Skaler (sayıl) ile çarpma

Bir yöney uzayında, sayıl ve yöneyler arasında bir çarpma ve dağılma olması gerekir. r,s sayılları F cismine ait olsun. O halde , yöneyleri için,

• Sayıl ile birleşme:
• Sayıl toplaması üzerine dağılma:
• Yöney toplamı üzerine dağılma:
• Sayıl birim öğe ile çarpma:

özellikleri sağlanır.
Genel olarak yöneyle sayılın çarpması, yöneyin her bileşeninin sayıl ile çarpılmasıdır.

Nokta (sayıl) çarpım

İki yöney sayıl çarpımla çarpılırsa bir yöney değil bir skaler (sayıl) elde edilir.
Yöneyleri birim yöneylerle ifade edip, çarpımı birim yöneylerin çarpımından tanımlamak da mümkündür.
Eğer birim yöneyler (i = 1, 2, ..., n) olarak gösterilirse (örneğin üç boyutta vs.),
Burada δij ifadesi, Kronecker delta fonksiyonudur ve i ile j eşitse 1, değilse 0 değerini alır. Örneğin;
olur. Bu durumda bir yöneyin nokta çarpımı birim yöneylerin çarpımına indirgenmiş olur:
Ayrıca bu çarpımı dizeylerle de tanımlayabiliriz:

Çapraz (yönel) çarpım

Üç boyutlu iki yöneyin çapraz çarpımı, bu iki yöneyin tanımladığı düzleme dik üçüncü bir yöneye eşittir.

ki burada her iki yöneye dik olan birim yöneydir. Ayrıca yöneyler satır ya da sütün dizeyler (matris) olarak düşünüldüğünde bu çarpım aşağıdaki gibi tanımlanabiir:
Yönel çarpım determinant ile de tanımlanabilir:
Dikkat edilirse eğer yöneyler paralelse olacağından çarpımın sonucu sıfır yöneyidir.

Doğrudan çarpım (tensör çarpımı)

İki yöneyin doğrudan çarpımının sonucu ne bir yöneydir ne bir skalerdir, bir ikiçtir (dyad).
Bu çarpıma, eğer yöneyler eş boyutluysa, çiftli (dyadic) çarpım denir. Eğer yöneyleri birim yöneylerle ifade edersek
şeklinde tanımlanan iki yöney için doğrudan çarpım
==++olarak elde edilir. Buradaki gibi birimler yeni birer birimdir, yâni başka bir cinsinden ifade edilemez. Bu yüzden olarak tanımlandığında
=++elde edilir ki bu da dizey gösterimine tekâbül eder.