Eğik Atış Hareketi

[GuLCe]

eğik atış harekeketi

Bir beyzbol topunun (veya, bu amaçla, havaya fırlatılan herhangi bir cismin) hareketini izlemiş olan kimse bir eğik atış hareketi gözlemiştir. Rastgele yönlü bir ilk hızla atılan top, bir eğri yol boyunca hareket eder. Şu iki kabul yapılırsa bu hareket biçiminin analizini yapmak çok basitleşir. (1) g yerçekimi ivmesi hareket süresince sabit ve aşağıya doğru yöneliktir.[1] (2) hava direncinin etkisi ihmal edilmektedir.[2] Bu varsayımlarla, eğik olarak atılan bir cismin yolu diyeceğimiz eğrinin daima bir parabol olduğunu bulacağız. Bu varsayımları bu bölümün başından sonuna kadar kullanacağız.

Referans sistemimizi, y doğrultusu düşey ve yukarı yön pozitif olacak şekilde seçersek, (hava direnci ihmal edildiğinden) (bir boyutlu serbest düşmedeki gibi) ay = -g ve ax = 0 dır. Ayrıca, t = 0 da, eğik atılan cismin, orijini (x0 = y0 = 0), Şekil 5 deki gibi, bir v0 hızı ile terkettiğini varsayıyoruz, v0 vektörü yatayla q0 açısı yaparsa, kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının tanımlarından

Cos q0 = vx0/v0 ve sin q0 = vy0/v0

elde ederiz. Burada q0 Şekil 5 deki gibi atış açısıdır. Böylece ilk hızın x ve y bileşenleri

vx0 = v0 cos q0 ve vy0 = v0 sin q0

ile verilir. Bu ifadeler; ax = 0 ve ay = -g ile birlikte 8 ve 9 Eşitliklerinde yerine konursa, herhangi bir t anında aşağıdaki hız bileşenleri ve koordinatlar elde edilir.

Vx = vx0 = v0 cos q0 = Sabit Yatay hız bileşeni(10)

vy = vy0– gt = v0 sin q0 – gt Düşey hız bileşeni(11)

x = vx0t = (v0 cos q0) t Yatay konum bileşeni(12)

Düşey konum bileşeni(13)



Şekil 5. Orjini v0 hızıyla terkeden, eğik atılan bir cismin parabolik yörüngesi, v hız vektörünün zamanla değiştiğine dikkat ediniz. Bu değişimde hızın x bileşeni, vx sabit kalırken y bileşeni vy değişir. Tepe noktasında ise vy = 0 olur.


Sert bir yüzeyden sıçrayan bir golf topu. Her sıçrayışta topun takip ettiği parabolik yörüngeye dikkat ediniz.

10 Eşitliğinde ivmenin yatay bileşeni olmadığından, hızın sabit ve ilk hızın x bileşenine eşit olduğu anlaşılır. y doğrultusundaki hareket için de, vy nin serbest düşen cisim için verilen ifadelerle özdeş olduğu görülmektedir. Gerçekte, kinematik denklemlerinin tamamı eğik atış hareketi yapan cisme uygulanabilir.

12 eşitliğini t ye göre çözer ve 13 Eşitliğinde yerine koyarsak 0< q0 < p/2 aralığındaki açılar için geçerli olan

(14)

bağıntısını buluruz. Bu, orijinden geçen bir parabol denklemi olan ax - bx2 biçimli bir bağıntıdır. Böylece, eğik olarak atılan bir cismin yörüngesinin bir parabol olduğunu görmüş olduk. Cismin yörüngesinin v0 ve q0 bilinirse tamamen belirlendiği söylenebilir.

10 ve 11 Eşitliklerinin, hızın herhangi bir andaki x ve y bileşenlerini verdiği hatırlanırsa, herhangi bir andaki hızı, zamanın fonksiyonu olarak elde edebiliriz. Bu hızın büyüklüğü de,

(15)

olur. Şekil 5 de gösterildiği gibi, hız vektörü herhangi bir anda yola çizilen teğet olduğundan, v nin yatayla yaptığı q açısı,



Eğik atışın herhangi bir anındaki açı (16)

ifadesinden elde edilebilir.

Eğik atış yapan bir cismin konum vektörünün ifadesi, a = g alınmak suretiyle 9 Eşitliğinden doğrudan doğruya şu şekilde yazılabilir.



Bu ifade 12 ve 13 Denklemlerine özdeştir ve grafiği Şekil 6 da çizilidir. R için verilen ifade bir vektörel nicelik olup yukarı yön pozitif olarak alındığında a = g = -g j olduğundan, bu eşitlik, 13 Eşitliğiyle uyumludur. Hareketin, ivme olmadığında yerdeğiştirmeyi veren v0t terimiyle, yerçekiminden kaynaklanan ivmenin oluşturduğu ½ gt2 teriminin toplamından ibaret olduğuna dikkat etmek ilginç olur. Diğer bir ifadeyle, yerçekimi ivmesi olmasaydı, parçacık v0 yönünde bir doğru yol boyunca hareket etmeye devam edecekti. Böylece, parçacığın y ekseni boyunca aldığı yol ½ gt2, serbest düşen cismin aldığı düz yola eşittir. Sonuç olarak eğik atış hareketini, (1) sabit ivmeyle, düşey doğrultuda serbest düşme yapan cismin hareketi ile (2) sabit hızlı yatay doğrultudaki düzgün hareketin üst üste binmesi olarak yorumlayabiliriz.


Şekil 6. Orijinden v0 ilk hızıyla eğik atılan cismin r yerdeğiştirme vektörü, v0t vektörü, yerçekimi olmasaydı eğik atılan cismin yer değiştirmesi olacakdı. ½ gt2 vektörü, t zamanında yerçekiminden ileri gelen düşey yerdeğiştirmedir.

Eğik Atışta Cismin Menzili ve Maksimum Yüksekliği. Cismin Şekil 7 deki gibi, pozitif vy bileşeniyle, t = 0 da orijinden atıldığını varsayalım. İncelenmesi gereken ilginç iki özel hal vardır: (R/2, h) koordinatlarına sahip tepe ve (R , 0) koordinatlara sahip nokta, R uzaklığına eğik atılan cismin menzili, h uzunluğuna da maksimum yüksekliği denir. h ve R yi v0, q0 ve g cinsinden bulmak isteyelim.

Tepe noktasında vy = 0 ı kullanarak, cisim tarafından ulaşılan maksimum h yüksekliğini bulabiliriz. 11 Eşitliği tepe noktasına ulaşması için geçen t1 zamanını hesaplamakda kullanılabilir:



t1 in bu ifadesinin 13 Eşitliğinde yerine konulması h yi, v0 ve q0 cinsinden verir:


Eğik atılan cismin
maksimum yüksekliği (17)

R menzili, tepe noktasına ulaşmak için geçen zamanın iki katında yani, 2t1 zamanı içinde alınan yatay uzaklıkdır. (Bu, 13 Eşitliğinde y = 0 koyarak ve t nin ikinci dereceden denklemini çözerek görülebilir.




Şekil 7. Bir v0 ilk hızıyla t = 0 da orijinden, eğik atılan cisim. Cismin maksimum yüksekliği h ve menzili R dir.
Bu ikinci dereceden denklemin bir çözümü t = 0 ve ikincisi t = 2t1 dir.) 12 Eşitliğini kullanarak ve t = 2t1 de x = R olduğundan



Buluruz. Sin 2q = 2 sin q yı kullanarak, R kısaltılmış biçimde

Eğik atılan cismin menzili (18)

olarak yazılabilir. Şekil 7 de görüldüğü gibi, v0 ve q0 biliniyorsa, R ve h ı hesaplamak için 17 ve 18 Eşitliklerinin kullanılabileceği unutulmamalıdır. (v0 ın bilinmesi gereklidir.) 10 dan 13 e kadar olan eşitlikler, herhangi bir t anındaki eğik atılan cismin koordinat ve hız bileşenleri olduklarından, bu eşitliklerle verilen genel ifadeler önemli sonuçlardır.

18 Eşitliğinden, R nin maksimum değerinin Rmaks= v02/g olduğuna dikkat etmelisiniz. Bu sonuç, 2q0 = 90° olduğunda, sin 2q0 ın maksimum değerinin 1 olması gerçeğinden çıkar. Böylece hava direnci ihmal edilirse, q0 = 45° olduğu zaman R nin maksimum olduğunu görürüz.

Şekil 8 belli bir ilk hızla, farklı açılarda atılan bir cisim için değişik yörüngeleri göstermektedir. q = 45° için menzil maksimum değere sahiptir. q0 = 45° den farklı herhangi bir q0 açısıyla atılan cismin menzili, birbirlerini 90° ye tamamlayan açılar için aynıdır. Örneğin 75° ile 15° gibi. q0 ın bu iki değeri için maksimum yükseklik ve uçuş zamanı tatbiki farklıdır.


Şekil 8. FarFarklı açılarda, 50 m/s lik ilk hızla orijinden atılan cismin, x ekseni üzerinde aldıkları yollar, birbirlerini bütünleyen açılar için aynıdır.

[1] Bu yaklaşım, hareketin menzili yerin yarıçapına (6.4 x 106 m) kıyasla küçük olduğu sürece mantıklıdır. Gerçekten, bu yaklaşım yerin, göz önüne alınan hareketin menzili içinde, düz olduğunu kabul etmekle özdeştir.

[2] Bu yaklaşım, özellikle yüksek hızlarda, sağlanmaz. Ayrıca, bir beyzbol topu gibi, cismin kendi ekseni etrafında dönmesi (örneğin, atıcı tarafından gerçekleştirilen, cismin gideceği yolun şekli gibi) aerodinamik kuvvetlerle birlikte bazı çok ilginç olaylara neden olabilir.